1 橢圓曲線擬合的砂輪修形原理在刃磨螺旋槽滾刀時(shí)鼎姐，砂輪的磨削面會(huì)與滾刀的前刀面發(fā)生干涉掸掏，使磨削出的滾刀前刀面出現(xiàn)畸變郭赐，呈中凸形薪韩，從而使加工出來(lái)的齒輪齒形畸變，節(jié)線附近出現(xiàn)中凹捌锭，無(wú)法正常嚙合躬存，因此，在刃磨大螺旋槽滾刀時(shí)攒陋，必須用相應(yīng)的砂輪修形裝置來(lái)對(duì)砂輪的磨削面進(jìn)行正確修形灶花。 磨削大螺旋角滾刀時(shí)的嚙合線是一條十分復(fù)雜的空間曲線(嚙合方程見(jiàn)參考文獻(xiàn)[1])，反映出的砂輪軸截形也十分復(fù)雜筒煌，通常難以用顯式函數(shù)予以描述艰吏，只能通過(guò)求解嚙合方程得到砂輪軸截形的數(shù)值解，即用一系列點(diǎn)的坐標(biāo)描述:{Mi(xi拱宗，yi):i=1涣累，2，… n}菜盒。 從相關(guān)文獻(xiàn)的計(jì)算結(jié)果來(lái)看蹦争，盡管砂輪軸截形的曲線復(fù)雜，但十分光滑酪捏，在整個(gè)工作區(qū)段內(nèi)曲率呈均勻連續(xù)變化瑞捂，無(wú)尖點(diǎn)、無(wú)突變层锄，呈中凸形酷麦。砂輪的軸截形與滾刀參數(shù)、砂輪直徑密切相關(guān)喉恋，不同的滾刀沃饶、砂輪有不同的砂輪軸截形，因此轻黑，必須有一種砂輪修形裝置能對(duì)不同的滾刀砂輪進(jìn)行調(diào)整糊肤。鑒于這種情況，我們利用“橢圓曲線擬合”的方法設(shè)計(jì)了如圖1所示的砂輪修形儀氓鄙，進(jìn)口機(jī)床AGW482 就是利用該方法來(lái)對(duì)砂輪進(jìn)行修形的馆揉，這里我們針對(duì)國(guó)產(chǎn)機(jī)床進(jìn)行了改進(jìn)。 為所設(shè)計(jì)修形儀的結(jié)構(gòu)原理圖玖详。廓形塊上面有一下凹的圓弧面r把介，當(dāng)廓形塊繞自身軸線y1轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度α(由量塊或游標(biāo)卡尺測(cè)量距離E1)時(shí)，相當(dāng)于平面斜截圓弧面蟋座，形成橢圓曲線f(x，y)。 廓形塊下有一托盤向臀，可帶動(dòng)廓形塊繞軸線z1轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度β(由量塊或游標(biāo)卡尺測(cè)量距離E3)巢墅，相當(dāng)于改變橢圓相對(duì)于砂輪截形的傾角。支架可帶動(dòng)廓形塊沿x1方向移動(dòng)隆文，位置由量塊或游標(biāo)卡尺測(cè)量距離E2美卒。靠模螺釘可微調(diào)橢圓相對(duì)于砂輪磨削面的高低位置由E4決定韧践。 σ(oxy)為砂輪軸截形坐標(biāo)系轿战，σ1(o1-x1y1)為橢圓坐標(biāo)系，原點(diǎn)o1在σ(o-xy)的坐標(biāo)為(x0随象，y0)载蜓。利用坐標(biāo)變換可得到橢圓在砂輪軸截形坐標(biāo)系σ(o-xy)中的方程為: f(x，y)=[(x-x0)sinβ-(y-y0)cosβ]2sin2α+[(y-y0)sinβ-(x-x0)cosβ]2-r2=0 (1) 由于r值對(duì)橢圓形狀影響較大聪蔬，我們做了三個(gè)廓形塊(快換肄绢，分別加工成不同圓弧面)以供選擇，r=30无价，45详毡，60mm。這樣只要E1琳柱、E2耻陕、E3、E4刨沦、r五個(gè)參量選得合適淮蜈，就能獲得一條與砂輪軸截形擬合度較高的橢圓曲線段來(lái)對(duì)砂輪進(jìn)行修形。

　　2 修形儀調(diào)整參數(shù)的優(yōu)化計(jì)算要確定橢圓方程(1):f(x已卷，y)梧田，需要給定一組{α，β侧蘸，x0裁眯，y0，r}值讳癌，問(wèn)題的關(guān)鍵在于找到一組{α穿稳，β，x0晌坤，y0逢艘，r}值，使橢圓曲線f(x骤菠，y)與砂輪軸截形曲線(即理論廓形:{Mi(xi它改，yi):i=1物轮，2，… n})間的誤差最小引苇，在這里引入了下列優(yōu)化設(shè)計(jì)方法怖征。

　　2.1 修形儀調(diào)整參數(shù)的優(yōu)化模型選取{α，β牌鹊，x0视以，y0，r}為設(shè)計(jì)變量:X =[α己倾，β购哺，x0，y0蔫迅，r]T人狞，修形儀調(diào)整參數(shù){E1，E2翻框，E3厚遗，E4}由橢圓的形狀及位置參數(shù){α，β信粮，x0黔攒，y0，r}計(jì)算得到强缘。當(dāng)把砂輪軸截形曲線若干離散點(diǎn)的坐標(biāo){Mi(xi督惰，yi):i=1，2旅掂，…n}代入橢圓方程(1):f(x赏胚，y)時(shí)，有剩余誤差:εi=fi(xi商虐，yi):i=1觉阅，2，…n秘车。 為使橢圓曲線與砂輪軸截形曲線擬合誤差(即總的剩余誤差εI)最小典勇，可以把剩余誤差的均方差的平方和剩余誤差平方的最大值作為我們的優(yōu)化目標(biāo)，即使均方差和最大偏差最小叮趴。兩者取相同的權(quán)重割笙，則優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)為 ?(X)= 1 n Σ i=1 (ω-&εi)2+max(ε2i) n-1 (2) 式中ω為平均誤差，ω= 1 n Σ i=1 εi n 這樣該目標(biāo)函數(shù)既控制了擬合的總誤差丰躺，也可防止個(gè)別點(diǎn)出現(xiàn)大的偏差勉惋。 根據(jù)修形儀和機(jī)床的結(jié)構(gòu)，可以建立約束函數(shù)肄琉。

　　2.2 程序設(shè)計(jì)及計(jì)算求解上述優(yōu)化問(wèn)題采用的是懲罰函數(shù)法(SUMT)丧爸，程序中調(diào)用了無(wú)約束優(yōu)化鮑威爾法(POWELL)窟礼。程序自動(dòng)生成罰函因子r0，經(jīng)過(guò)試算修改后可以較好地保證收斂速度和計(jì)算精度乞芳，對(duì)調(diào)整參數(shù){E1铐儡，E2染痊，E3细抠，E4}的計(jì)算精度可達(dá)到0.01 ～0.001mm。 選定一把帶有螺旋容屑槽的滾刀组救，滾刀參數(shù)為:滾刀外徑d=158.5mm喧丛，前刀面導(dǎo)程H=2300mm，螺旋角θ= 10°15'47"辰车，前刀面深T=31 mm缔直，選取砂輪直徑D=150 mm。 計(jì)算結(jié)果如下:設(shè)計(jì)變量X =[α博其，β套才，x0，y0慕淡，r]T=[4.89背伴，4.08，-24.09峰髓，49.39傻寂，30]T，目標(biāo)函數(shù)?(X)=0.2906752携兵，調(diào)整參數(shù){E1疾掰，E2，E3徐紧，E4}={13.66静檬，15.05，9.86并级，8.10}拂檩。

　　3 擬合誤差分析計(jì)算由于優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)并不能直觀地反映擬合誤差的大小、方向和分布情況书吗，因此我們有必要對(duì)擬合誤差進(jìn)行理論分析栓属，以檢驗(yàn)所建優(yōu)化模型是否正確。由于砂輪的法向誤差對(duì)滾刀的磨削精度影響較大女践，同時(shí)也比較直觀周矢，因此我們選取砂輪的法向誤差進(jìn)行分析。

　　3.1 法向誤差的求解過(guò)橢圓(即實(shí)際廓形)上任意一點(diǎn)Q(x'盹斟，y')作法線沟赏，與砂輪軸截形曲線(即理論廓形)交于一點(diǎn)P(xi浆酝，yi)，則該法線方程為 y-yi=k(x-xi)  (3) 式中法線斜率k 可由橢圓方程(1)求出提钟，即 k=-dx/dy (4) PQ兩點(diǎn)之間的距離即為Q 點(diǎn)的法向誤差和爽，有 δi=±  √   (xi-x')2+(yi-y')2 (5) 規(guī)定當(dāng)誤差為正值時(shí)，砂輪實(shí)際點(diǎn)在理論點(diǎn)之外锻转，為負(fù)值時(shí)實(shí)際點(diǎn)在理論點(diǎn)之內(nèi)儡簿。 P(xi，yi)為{Mi(xi稽羔，yi):i=1侍瑟，2，… n}上的已知點(diǎn)丙猬，由式(1)涨颜，(3)和(4)可求出法線與橢圓(有效段)的交點(diǎn)坐標(biāo)Q(x'，y')茧球，由式(5)可得到Q 點(diǎn)的法向誤差δi庭瑰，通過(guò)比較P和Q兩點(diǎn)坐標(biāo)值的大小，可以判斷法向誤差的正負(fù)抢埋。 把{Mi(xi弹灭，yi):i=1，2羹令，…n}各點(diǎn)代入式(5)即可求得各擬合點(diǎn)的法向誤差δi鲤屡，由此可直觀地看出沿徑向(砂輪廓形方向)擬合誤差的分布情況。

　　3.2 程序設(shè)計(jì)及計(jì)算在上述計(jì)算法向誤差的過(guò)程中福侈，需要反復(fù)求解一個(gè)一元高次方程酒来，為此我們編制了計(jì)算程序。由于解的區(qū)間較易確定肪凛，我們采用了二分法[3]详鲜。對(duì)上述優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行誤差分析，并由計(jì)算機(jī)直接輸出圖3 所示的各點(diǎn)擬合誤差的誤差分布情況邦霸。其中最大偏差δmax=0.000824mm丹蛀，平均誤差ω=0.000281mm，均方根差σ=0.000359mm幕封。 從以上誤差分析可以看出春陆，擬合精度足以滿足砂輪修形的要求。

　　4 試驗(yàn)及結(jié)論針對(duì)上述求解過(guò)程所編制的完整計(jì)算程序能對(duì)任意一把要刃磨的螺旋槽滾刀進(jìn)行計(jì)算铁磕。其程序運(yùn)行過(guò)程如下:輸入滾刀參數(shù)→計(jì)算砂輪軸截形→優(yōu)化修形儀調(diào)整參數(shù)計(jì)算擬合誤差→輸出數(shù)據(jù)及圖形怠写。我們選取螺旋角在5～22°之間的滾刀，應(yīng)用該程序進(jìn)行計(jì)算剖宪，理論上擬合誤差大都在0.01～0.001mm之間竟恩。用該修形儀對(duì)砂輪進(jìn)行修形磨刀試驗(yàn)恶恨，其刃磨滾刀前刀面的實(shí)際誤差在0.02～0.07mm之間∩炜樱基本上通過(guò)一次刃磨即能達(dá)到A 級(jí)滾刀精度的要求痴猖。 經(jīng)上述計(jì)算和試驗(yàn)證明，所建模型正確念脯，而且設(shè)計(jì)的砂輪修形儀比進(jìn)口機(jī)床AGW482修形裝置的調(diào)整參數(shù)更多狞洋，修形精度更高。編制的調(diào)整參數(shù)計(jì)算程序能對(duì)任意一把滾刀進(jìn)行計(jì)算和二，通過(guò)調(diào)整修形儀修整砂輪對(duì)滾刀進(jìn)行刃磨徘铝，解決了國(guó)產(chǎn)滾刀磨床刃磨大螺旋角滾刀時(shí)砂輪修形的難題耳胎。該修形儀可用在多種滾刀磨床上惯吕，對(duì)現(xiàn)有國(guó)產(chǎn)機(jī)床進(jìn)行改造也不失為一種簡(jiǎn)單易行、經(jīng)濟(jì)可靠的方法怕午。

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