現(xiàn)有數(shù)控機床加工漸開線廓形需通過直線或圓弧擬合來實現(xiàn)撤蟆，程序段多而且精度低顷锰。王啟民的《數(shù)字積分法漸開線插補原理》和郭崇善的《極徑漸開線插補原理》在參數(shù)方程局待、數(shù)字積分基本思想的基礎(chǔ)上叫胁，研究了直接進行漸開線插補的有關(guān)算法凰慈。本文在此基礎(chǔ)上提出變步長漸開線插補的基本思想，旨在保證一定的進給速度和精度曹抬。
1 基本原理
如圖1所示溉瓶，漸開線基圓半徑為R急鳄，動點P(x,y)參數(shù)方程為
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| x=Rcosq+Rqsinq
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| y=Rsinq-Rqcosq |
| (1) |
設(shè)待插補線段為Po～Pe谤民，插補起始點參數(shù)θo，對應(yīng)動點坐標xm=xo,ym=yo,插補終點坐標xe,ye疾宏。
當(dāng)參變量θ有一微小增量Δθ時张足，x,y值亦有相應(yīng)變化Δx=x-xm，Δy=y-ym坎藐。設(shè)脈沖當(dāng)量為δ为牍，當(dāng)Δθ足夠小時，總能保證max(|Δx|岩馍，|Δy|)≤δ碉咆。建立累加余數(shù)寄存器Δxs,Δys，初始時Δxs=Δys=0浇沧，θ=θ0盆篡，當(dāng)不斷累加Δθ，即θ=θ+Δθ時坏扣，相應(yīng)Δx春异，Δy及Δxs=Δxs+Δx，Δys=Δys+Δy亦隨之變化则徒。以x軸為例氛坪，最終總有Δxs≥δ瞳弱，這時向x軸進給一步，同時調(diào)整動點坐標值xm=xm+δ骡侮，修正余數(shù)寄存器Δxs=Δxs-δ纽债，對y軸亦同理。繼續(xù)上述過程即θ=θ+Δθ束沼，再由式(1)得x,y形炬，求Δx=x-xm，Δy=y-ym部爱，再求Δxs,Δys亏吝，若Δxs≥δ或Δys≥δ，則向相應(yīng)軸進給一步盏混，修正相應(yīng)動點坐標值及累加余數(shù)寄存器值蔚鸥，直至xm=xe，y=ye许赃，插補結(jié)束止喷。
由條件max(|Δx|,|Δy|)≤δ可確保每次插補任一軸方向最多進給一個脈沖當(dāng)量，從而使插補誤差控制在一個δ之內(nèi)混聊。顯然Δθ取值越小弹谁，該條件越容易保證，但Δθ太小時可能出現(xiàn)累加多次θ+Δθ仍無進給脈沖出現(xiàn)的情況句喜，影響進給速度预愤。希望Δθ的取值能保證每一次或兩次累加即有一次進給脈沖產(chǎn)生。問題歸結(jié)到步長Δθ的取值最優(yōu)化咳胃。由式(1)可見植康，當(dāng)R、θ值不同時展懈，同樣Δθ將對應(yīng)不同的Δx销睁、Δy，即Δθ取常量很難同時滿足進給速度及插補精度要求停柬。為此累筋，考慮采用變步長，即取Δθ為變量盯糠。具體說书瘤，每次插補計算θ+Δθ及Δx、Δy時涤瘸，若有Δx≥2δ或Δy≥2δ搁排，則說明Δθ太大，令Δθ=Δθ/2延砾，重算占窥；另外記錄獲得一個進給脈沖的插補次數(shù)n学虑，若n≥3時才出現(xiàn)Δx≥δ或Δy≥δ，則說明Δθ太小唆海，在完成本次進給及相應(yīng)坐標調(diào)整欲炉，累加余數(shù)寄存器修正后取Δθ=2Δθ，再繼續(xù)插補赞季±⒉叮總之，隨時調(diào)整Δθ值以保證插補過程處于最佳狀態(tài)申钩。
2 進給方向變化問題
由圖1可看出次绘，隨著θ角從0開始逐漸展開，x,y將發(fā)生變向撒遣。即當(dāng)θ>p/2邮偎，3p/2π時，x將變向义黎；當(dāng)θ＞π時y將變向禾进。在插補過程中對此必須予以考慮。綜上所述廉涕，變步長漸開線插線算法可歸納為圖2泻云。
3 刀補等距線轉(zhuǎn)接點的求取
基于刀具半徑補償?shù)牡缎能壽E計算涉及兩段編程軌跡等距線交點的求取問題，這里僅以圓弧與漸開線轉(zhuǎn)接為例狐蜕。如圖3所示宠纯，實際輪廓軌跡為圓弧AB接漸開線BC，刀具半徑為r馏鹤，則刀心軌跡應(yīng)為圓弧A′B′接線段B′C′涮饱。交點B′的求取是以下要討論的中心。
由于漸開線的發(fā)生線即為其法線牵蠢，因而線段B′C′亦為與BC同基圓的漸開線，其原始起點比BC漸開線的原始起點提前一個角度θT姨痊，且=r/R仓疯。由此可得漸開線B′C′參數(shù)方程為
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| x=Rcosq+R(q+θT)sinq
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| y=Rsinq-R(q+θT)cosq |
| (2) |
圓弧A′B′中心坐標已知為x1,y1，半徑R1购狈，令l=R1+r魂欺，則圓弧A′B′方程為
式中x、y以式(2)代入杂猾，可得B′點對應(yīng)的θ值虏绑。然而以普通方法直接求解式(3)很困難，況且還有2個根的取舍問題签子。因此考慮數(shù)值解法就壳。
建立函數(shù)F(θ)=(x-x1)2+(y-y1)2-l2搭为，其中x、y以式(2)代入涤伐。再令f(θ)=[F(θ)]2馒胆，則問題轉(zhuǎn)化為一維搜索求取f(θ)極小點。一般說來凝果，圓弧與漸開線交點可能有1～3個祝迂，因而必須首先確定真實解所在的單峰區(qū)間。分析導(dǎo)數(shù)f′(θ)器净，經(jīng)整理可得
f′(θ)=2F(θ)2R(θ+θT)[R-(cosθx1+sinθy1)]
由于f′(θ)性態(tài)取決于R型雳、x1、y1等參數(shù)山害，要研究其單調(diào)區(qū)間四啰，凸凹性、駐點粗恢、極小點等很困難柑晒，因而要利用其導(dǎo)數(shù)來確定單峰區(qū)間及搜索極小點存在一定問題。為此采用“進退法”眷射，只涉及函數(shù)值而不用導(dǎo)數(shù)匙赞。而搜索初始點可由實際輪廓線交點B及其對應(yīng)的θ角來確定。確定真實解所在的單峰區(qū)間[a只逐，b]后季距，可用“黃金分割”法求得真實解。限于篇幅荞亩，詳細步驟不再贅述蒿蛆。
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