在實際的產(chǎn)品設(shè)計中經(jīng)常用到組合曲面会激。所謂組合曲面软吐，就是將不同的曲面片以一定的方式連接起來組成的曲面。組合曲面雖能方便地表達復(fù)雜的形狀怔接，但卻帶來另一個問題搪泳，這就是組合曲面中曲面間的過渡問題。若想讓單張曲面間滿足特定的條件直接連接扼脐，這將是極端困難的岸军，甚至是不可能的。于是瓦侮。人們采用在組合曲面間加入過渡面來處理曲面間的過渡問題艰赞。由于過渡面在產(chǎn)品的性能、外觀、加工等方面的重要作用方妖，因此這方面的研究較多狭魂。雖然目前對曲面過渡問題研究較多，且算法日臻完善党觅，但它們都是僅僅從數(shù)學(xué)的角度對過渡問題進行研究雌澄，而沒有考慮加工的要求，這樣建立的過渡面可能無法加工出來或者加工時必須增加換刀次數(shù)而使加工的效率降低杯瞻。為此略雪，本文擬從數(shù)控加工的角度對曲面過渡技術(shù)進行研究。

1. 自由曲面光滑過渡理論

用曲面對組合曲面進行連接過渡時渴肿，過渡面與組合曲面間必需滿足一定的光滑度(也稱光順性)要求摩赎。目前，有兩種不同的關(guān)于連接光順性的度量：一種是傳統(tǒng)的參數(shù)連續(xù)性肥爵，另一種為幾何連續(xù)性隘唁。參數(shù)連續(xù)性的定義是：當且僅當兩曲面P(s, t)與Q(u, v)沿它們的正則公共連接線P(g)=Q(g)處處具有直到n階的偏導(dǎo)矢，則稱它們沿該連接線具有n階參數(shù)連續(xù)性或是Cn的連續(xù)性拴挫。而幾何連續(xù)性的定義是：兩曲面 P(s, t)與Q(u, v)沿它們的正則公共連接線 P(g)=Q(g)具有n階幾何連續(xù)性或是Gn的連續(xù)性默峦。當且僅當其中是一可被重新參數(shù)化以使得它們沿該公共連接線具有n個參數(shù)連續(xù)性或是Cn的連續(xù)性。人們在實踐中逐步認識到揩榴，傳統(tǒng)的參數(shù)連續(xù)性在度量非參數(shù)形式的曲面的光順性時是恰當?shù)模糜趨?shù)形式的曲面的光順性時則是對光順的不必要的過度限制寨支，因此柱爵，它不能確切度量參數(shù)曲面的光滑度。幾何連續(xù)性是對參數(shù)連續(xù)性必要的松馳惭舒，也是對參數(shù)化的必要松弛晒来，但決不是光滑度的松馳，這樣郑现，它可以為形狀定義和形狀控制提供額外的自由度湃崩。因此，幾何連續(xù)性是對參數(shù)曲面光順性比較理想的度量接箫≡芏粒考慮到現(xiàn)在參數(shù)曲面已成為自由曲面的標準表達形式，本文也采用幾何連續(xù)性處理過渡面與組合曲面之間連接的光滑性問題辛友。而且綜合考慮精度和效益原則薄扁，本文僅采用G1及一階幾何連續(xù)性。該連續(xù)性可表達為：兩曲面P(s, t)與Q(u, v)沿它們的正則公共連接線P(g)=Q(g)具有一階幾何連續(xù)性或是G1的連續(xù)性"當且僅當它們沿該公共連接線處處具有公共的切平面或公共的曲面法線废累。

2. 面向數(shù)控加工的曲面過渡技術(shù)

如前所述邓梅，目前幾何造型系統(tǒng)中的曲面過渡僅從數(shù)學(xué)的角度而沒有考慮到數(shù)控加工的要求。本文提出的面向數(shù)控加工的組合自由曲面的過渡技術(shù)不僅滿足數(shù)學(xué)上的光順性要求，更重要的是它考慮到數(shù)控加工的特點日缨。該曲面過渡技術(shù)主要包括以下幾步钱反。

組合曲面的離散并求出組合曲面的交線

對自由曲面的離散目前的研究較多，其算法也比較成熟匣距，此處不做深入的分析卸橘。本文采用三角形離散化方法對組合曲面進行離散，該方法的具體實現(xiàn)請參閱相關(guān)文獻盔锦。組合曲面經(jīng)過離散后塞这，求解它們的交線(用微線段近似表示)也是很容易的，此處也不再贅述奖冻。

用截平面截組合曲面并得出截交線

目前的組合曲面數(shù)控加工大體上有運算符法窜鳍、區(qū)域加工法和截面法三種。其中截面法是將刀位軌跡規(guī)劃在一組相互平行的平面上癞糙，且通常是一組垂直于XY面的平面稻嘱。該方法是組合曲面加工中最常用的方法，它能夠?qū)⒔M合曲面視為一個整體進行加工伦朵，刀具軌跡跨越整個組合曲面罢令，加工效率較高。故本文也針對該加工方法提出組合曲面的過渡方法暑赏。當采用垂直于XY面的平面截已經(jīng)過離散的組合曲面時媒埃，同樣能方便地得出用微線段表示的截交線。

求出組合曲面在截交線處的曲率

當求出組合曲面與平面的交線后贼穆，即可求出截平面與三角形片各邊交點(各微線段的端點)處的曲面的曲率题山。其求解過程為
　　Kn= f2 = Ldu2+2Mdudv+Ndv2
　　f1 Edu2+2Fdudv+Gdv2

(1)
　　式中 Kn──曲面的法曲率
　　f1──曲面第一不變量, E=Pu·Pu;F=Pu·Pv;G=Pv·Pv
　　f2──曲面第二不變量, L=n·Puu; M=n·Puv; N=n·Pvv
　　得出法曲率之后，通過求解其極值故痊，即可求出該點最大
　　曲率顶瞳。求解極值公式為：
　　KnE-L KnF-M
　　KnF-M KnG-N

(2)
　　當組合曲面與截平面交線處曲面的曲率被求出之后，即可采用下面的公式計算下一個截平面與當前截平面的間距為l= {4(R+r)2(h+r)2-　　　　[r2+2Rr+(h+r)2]2}?
　　(R+r)(h+r)

(3)
　　式中 l──兩條相鄰截平面的最大間距, mm
　　r──組合曲面上沿截平面的最小曲率半徑, mm
　　R──球頭刀具的球頭半徑, mm
　　h──允許的殘余高度, mm

同時愕秫，記下當前截平面與組合曲面交線上曲面曲率最大的值慨菱。這樣，即可得出各個截平面與組合曲面的交線處曲面的曲率的最大值戴甩。

分析確定合理的組合曲面過渡半徑

當各個截平面處的曲率的最大值求出后符喝，即可分析判斷組合曲面的過渡半徑。在數(shù)控加工中等恐，無干涉刀位軌跡的生成洲劣，尤其其中的軌跡的干涉檢驗與處理是最復(fù)雜的環(huán)節(jié)。而刀具半徑(此處指球頭刀具)的選擇和加工中換刀的次數(shù)是影響加工效率的兩個最主要因素课蔬。若單獨考慮囱稽，刀具半徑越大郊尝，加工效率越高；而換刀次數(shù)越少卡围，加工效率越高艺扑。但對于給定的曲面，選擇的刀具半徑越大外秋，往往意味著換刀次數(shù)的增多米法。本文的目標是盡量使組合曲面不因增加過渡面而降低效率∧沃辏基于此短户，我們提出的過渡曲率半徑準則如下：

如果 組合曲面對過渡曲率半徑有明確的數(shù)值要求，則各截平面對應(yīng)的過渡半徑為要求的數(shù)值稿焚；

如果 所有截平面對應(yīng)的最大曲率中的最大者小于經(jīng)濟刀具的球頭曲率唇锡，經(jīng)濟刀具就是最經(jīng)濟的刀具，該刀具使加工效率最高用动，則各截平面對應(yīng)的過渡半徑為該刀具的球頭半徑

組合曲面在每個截平面對應(yīng)的過渡半徑為該截平面對應(yīng)的最大曲率的倒數(shù)矗绅。

采用三次B樣條曲面進行擬合得出過渡面

得出組合曲面的各截平面對應(yīng)的過渡半徑后，我們首先用該曲率半徑的圓弧將同一截平面對應(yīng)的組合曲面的截交線進行G1光滑圓角過渡征蜻，這樣叼枝，我們便得到一系列圓弧，并記下各過渡圓弧段的起點和終點唉锌，也即過渡圓弧和組合曲面截交線的交點隅肥，這些起點和終點的連線即為組合曲面與過渡面的公共連接線。之后我們采用曲面擬合技術(shù)對此一系列圓弧進行擬合得出要求的過渡面糊秆。本文采用三次準均勻B樣條曲面作為擬合面的形式武福。如前所述，本文采用G1連續(xù)性作為組合曲面和過渡面的光順準則痘番。該準則表達如下：兩曲面P(s,t)與Q(u,v)沿它們的正則公共連接線P(g)=Q(g)具有一階幾何連續(xù)性或是G1的連續(xù)性，當且僅當它們沿該公共連接線處的不相重合的四個切矢Ps(g)平痰，Pt(g)汞舱，Qu(g)和Qv(g)應(yīng)當共面，該共面條件在數(shù)學(xué)上可表達為(Ps×Pt)×(Qs×Qt)=(Ps,Pt,Qv)Qu(Ps,Pt,Qv)Qu=0宗雇。由于B樣條曲面的局部修改性昂芜，所以可單獨將過渡面與組合曲面的各個面分別進行G'光滑過渡。過渡時赔蒲，首先在每段圓弧段上取若干點泌神，且為了方便，在各個圓弧上的點數(shù)應(yīng)相同库樊；然后以圓弧段方向為u方向棠裹，以各個圓弧段上對應(yīng)點的連線為v方向忆和；之后采用B樣條反求算法求出對應(yīng)的控制點。最后效迹，根據(jù)上面提及的G1光滑條件$對控制點稍作變動即可擬合出滿足條件的過渡面龟聊。

3. 結(jié)語

本文提出的面向數(shù)控加工的曲面過渡技術(shù)從數(shù)控加工的角度對組合曲面的過渡技術(shù)進行了深入系統(tǒng)的研究并提出了相應(yīng)的算法。它避免了傳統(tǒng)的曲面過渡技術(shù)純粹從數(shù)學(xué)的角度而沒有考慮加工的可行性和效率的缺點啰蕴，不但使生成的過渡面可滿足光順性的基本要求暑吹，而且使在對其進行加工時盡量減少了換刀的次數(shù)，提高了加工的效率码承。這為曲面過渡技術(shù)提供了新的思路凄跑，同時有利于CAD/CAM一體化的進程。