An algorithm for calculating 5-axis cutter path on sculptured surfaces with flat-end milling cutter

Li Xiaoping　Yu Daoyuan　Tang Yangping　Duan Zhengcheng

　　Abstract:This paper presents a new algorithm of adaptive step lengt hs and path interval on parametric coordinate system.As the algorithm considers the radius of the curvature difference between different cutter contact points， so it can improve machining efficiency and the accuracy of the finished surface. This algorithm is suitable for machining sculptured surface. A method of calcul ating cutter location point is also presented in this paper.
Key Words:flat-end milling cutter,seulptured surface,5-axis NC machining,cutter path

1　前言

　　自由曲面在模具中應用非常廣泛婴削，如汽車車身模具廊镜、塑料模、葉片鍛模唉俗、鑄模等嗤朴，大都包含自由曲面（以下簡稱曲面）。曲面的加工通常由球面刀和非球面刀（如平頭立銑刀虫溜、錐狀刀雹姊、鼓形刀等）完成，由于平頭立銑刀（以下簡稱立銑刀）的切削效率衡楞、加工質(zhì)量吱雏、使用壽命等都優(yōu)于球面刀^［1］，應優(yōu)先選擇瘾境。近幾年來歧杏，國內(nèi)外有關曲面立銑刀五軸數(shù)控加工軌跡的算法的研究較多^［4～6］，這些算法用微分幾何的方法對步長和行距進行預測迷守，公式簡單犬绒，計算量小，但它們沒有考慮相鄰刀具接觸點間曲率的變化脯纽，對于加工曲率變化小的曲面比較有效等吝，不適合曲率變化大的曲面。本文提出一種在參數(shù)坐標系下自適應步長和行距的計算方法尽架。該算法在滿足加工精度和粗糙度的前提下泽中，又能有效地提高加工效率屋赌，適合曲率變化大的曲面的加工。

2　刀具的有效半徑

　　五軸立銑加工曲面時炮惕，由于立銑刀的切削刃在立銑刀的周邊上，所以立銑刀的軸線與曲面的法線之間應當偏置一個刀具半徑汛刻，方能有效地切削曲面射贡。考慮到刀具與曲面干涉等因素瘾色，立銑刀在偏置的同時演苍，其軸線在被加工點的法平面內(nèi)還應與法線夾一角度φ（圖1），n為被切削曲面單位法向矢量梗爸，T_ax為刀具單位軸向矢量氧吐，R為刀具半徑，那么末盔，刀具的有效切削半徑定義為：R_e=Rsinφ筑舅。在圖1所示的狀態(tài)下，其端面在被加工點的密切面上的投影為長半軸R陨舱、短半軸為R_e的橢圓翠拣。若坐標原點在刀具端面的圓心上，以長游盲、短半軸為坐標軸误墓，立銑刀的端面的方程為：

　(1)

圖1　刀具有效

　　為此，立銑刀切削曲面可以看作一把橢圓成形刀在加工曲面益缎。

3　自適應步長的計算

　　在五坐標數(shù)控加工過程中谜慌，由于曲面各處的法向矢量是變化的，必然會引起刀具軸向矢量的變化莺奔，即刀軸的擺動會使刀具與曲面的接觸點軌跡不是一條直線欣范，而是曲線。所以弊仪，五坐標立銑加工誤差δ包括直線逼近誤差δ_t和刀軸擺動誤差δ_n（圖2）熙卡。本算法選擇曲面某一參數(shù)方向（如u向）作為步長進行誤差控制（圖3），點r(w_i,0)冠八、r(w_i,1)為曲線r(w_i,0)r(w_i,1)上兩點选曼，連接點r(w_i,0)、r(w_i,1)成一弦串题，點r(w_i,u)為曲線到弦r(w_i,0)r(w_i,1)的最大距離點失傍，計算該點處的直線逼近誤差和刀軸擺動誤差，比較加工誤差δ與允差ε的大小宽舱，若δ＞ε民沈，連接新的端點r(w_i,u)还凸、r(w_i,0)形成新弦r(w_i,0)r(w_i,u)，將新的參數(shù)曲線的區(qū)間［0浸速，u］轉(zhuǎn)換到［0童盏，1］區(qū)間，再次計算加工誤差δ就灸，如此下去呛疫，直到δ<ε為止。記下此點Δu值泡嘴，作為加工步長甫恩，再以r(u)為新起點，重復計算酌予，即可算出每一點的步長磺箕。

圖2　步長誤差的控制

3.1　直線逼近誤差的計算

圖3　直線逼近誤差的計算

　　如圖3所示，曲線r(w_i,0)r(w_i,1)的加工實際是通過插補多段內(nèi)接弦來逼近它抛虫∷擅遥考慮到加工效率，希望弦長盡量大莱褒，弦的段數(shù)盡量少击困，即在滿足精度的情況下取最大的弦長來逼近，通常的辦法是從曲線的一端開始采用迭代搜索法求取弦的另一端點广凸。連接點r(w_i,0)阅茶、r(w_i,1)成一弦，若弦r(w_i,0)r(w_i,1)用矢量c表示谅海，d表示曲線上的點到弦r(w_i,0)r(w_i,1)的最大距離脸哀，即δ_t=｜d｜。
那么存在：d=r(w_i,u)-r(w_i,0)-λc　　　(2)

式中：λ——系數(shù)扭吁，λ∈［0摧垄，1］。
　　由于c與d垂直袱黎，可得到：

cd=0　　　(3)

　　聯(lián)立式（2）匕蚁、(3)解得：

  (4)

  (5)

　　上式可以寫成：

d=P［r(w_i,u)-r(w_i,0)］　　　(6)

其中，道夭，稱為投影矩陣渊唁，I為單位矩陣。
　　由于在弦向偏差最大處倾断，曲線切矢垂直于矢量d仆玖，即r′((w_i,u)d=0　　　(7)
故r′((w_i,u)P［r(w_i,u)－r(w_i,0)］=0　　　(8)
　　上式中除兩端點為根外，還有多個根守皆，由于在弦向偏差最大處歪低，存在：

r″(w_i,u)d＜0　　　(9)

所以把式(8)和u∈（0,1）用于每一個根處溅宅，式(7)中滿足式(8)和u∈（0，1）的根即為最大偏差處相應的u值盔曼，因此搪书，可求出δ_t。
　　上述算法過程中吴侦，首先必須檢查曲線段內(nèi)有無拐點谷饿，并計算出該點的位置。若曲線段有拐點妈倔，則以此拐點將曲線一分為二，將兩段參數(shù)曲線的區(qū)間［u₁,u₂］轉(zhuǎn)換到［0绸贡，1］區(qū)間盯蝴，分別對兩段曲線采用二分法進行迭代。
3.2　刀軸擺動誤差的計算
　　刀軸擺動誤差是加工過程中听怕，由于刀具軸向矢量擺動引起的非線性誤差(見圖2)捧挺。可以證明^［6］：

｜δ_n｜≤R_e(k_f^.ΔS_u)　　　(10)

式中：k_f——直線逼近段內(nèi)曲面沿進給方向在最大直線逼近誤差點處的法曲率尿瞭；
　　　ΔS_u——逼近段弧長闽烙。

ΔS_u=∫^u₂u₁｜r′（W_i,u）｜du　　　(11)

　　當k_f＜0時，加工表面沿走刀方向為凸曲線声搁，刀具接觸點的軌跡為凹曲線黑竞，因此，加工誤差為直線逼近誤差和刀軸擺動誤差絕對值之和尤吟，即：δ=｜δ_n｜+｜δ_t｜拘能。
　　當k_f＜0時，加工表面沿走刀方向為凹曲線翁骗，刀具接觸點的軌跡亦為凹曲線侣沐，且刀軸擺動誤差｜δ_n｜總是小于直線逼近誤差｜δ_t｜，因此引笛，可視直線逼近誤差｜δ_t｜為加工誤差δ笆低，即：δ=｜δ_t｜。

4　自適應行距的計算

　　雖然曲面的形狀各異决毕，但是刀具在加工這些曲面時忌挺，都是按照一定的曲線走刀加工出整張曲面的。對于刀具接觸點而言浆菇，根據(jù)其所在曲線在該點處的曲率大小可以分為三類：凸點遥加、凹點、拐點竣伍，在這里將直線上的點也歸為拐點類观复。凸點偏序、凹點、拐點可以根據(jù)其曲率k_f的大小加以判別：
　　當k_f＞0時胖替，為凸點研儒；
　　當k_f＜0時，為凹點独令；
　　當k_f＝0時端朵，為拐點。
　　與凸點燃箭、凹點冲呢、拐點相對應，這些點所在的曲線可以分為凸曲線招狸、凹曲線敬拓、直線。當?shù)毒叩慕佑|點是凸點裙戏、凹點或拐點時乘凸，在密切面內(nèi)，這三類點鄰域的曲線可以分別看成是凸圓弧累榜、凹圓弧和直線营勤。因此，在計算自由曲面的行距時癣辉，可以直接在圓弧和直線上加以計算模鹿。
　　圖4a為立銑刀加工凸曲面時的情形，ρ為刀具接觸點處的曲率半徑传起，ΔS_w為行距挟酗，橢圓代表立銑刀，刀具接觸點分別為B同肆、C兩點虏斤，即點r(w₁,u_i)、r(w₂,u_i)末尤，設坐標原點在立銑刀的中心上脊距，那么，A點的坐標為：
　　　x=(ρ+h)sinα
　　　y=(ρ+h)cosα-(ρ+Rsin)

圖4
(a)凸曲線　　　(b)凹曲線　　　(c)直線

　　由于A點在橢圓上非阿，必滿足式(1)的橢圓方程种诫，即：

　這是一個一元二次方程，可解出h：

     (12)

　對于圖4b湾关，

    　(13)

式(12)烫饼、(13)中

α=ΔS_w/（2ρ）　　　(14）

其中ΔS_w為弧BC的弧長:

ΔS_w＝∫^w₂w₁｜r′（w,u_i）｜dw　　　(15)

對于圖4c，

h=Rsinφ-sinφ(R²-L²/4)^0.5(16)

　　此時试读，刀具的行距為線段L杠纵，即B荠耽、C兩點間的距離。
　　至此比藻，已經(jīng)推導出了三種情形下殘留高度的計算公式铝量，可分別用式(12)、(13)银亲、（16）計算出這三種情形下的殘留高度慢叨。行距的大小就是根據(jù)h與ε的比較結(jié)果而定的。若h≤ε务蝠，那么此時的計算行距ΔS_w就能滿足要求拍谐；若h＞ε，那么需要減小Δw馏段，直至h≤ε為止赠尾。為求得滿足條件的Δw_min，由步長算法可得到一組u_i值笋棵，求出對應的Δw值，取其中的最小的Δw即為參數(shù)軸上的行距褪鸳。

5　刀具軌跡的計算

　　刀具軌跡的計算包括刀具的中心點和刀具軸向矢量的計算蛾岳。如圖5所示，點A為刀具接觸點揣响，n為曲面在點A處的單位法矢量簿睦，T_ax為刀具單位軸向矢量，T_c為由點A指向刀具中心的單位偏置矢量儿猪。

圖5　刀具軌跡

　　因為n派暴、T_ax、T_c均在同一平面上相梳，又T_c⊥T_ax咏逛，那么矢量n、T_ax1奢惋、T_c1組成一個矢量直角三角形预隆。這里T_ax1∥T_ax，T_c1∥T_c啸盲，故：

T_c1=n－T_ax1=n－｜ncosφ｜T_ax

又cosφ=nT_ax膳灶，故：
　　　T_c1=n－(nT_ax)T_ax
　　單位化矢量T_c：

T_c=T_c1/｜T_c1｜　　　(17）

　　其中刀具軸矢量T_ax可將單位法矢量n在A點法平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)φ角得到，即：

T_ax=nT_R(18)

　　上式中T_R為旋轉(zhuǎn)變換矩陣：

式中：n₁立由、n₂轧钓、n₃——旋轉(zhuǎn)軸單位矢量的方向余弦。
　　于是锐膜，刀具中心點的軌跡為：

C_e=r(w,u)+RT_c(19)

6　結(jié)論

　　本文采用弦差法計算五軸立銑刀加工曲面的直線逼近誤差毕箍，依據(jù)微分幾何關系計算在最大直線逼近誤差處刀軸擺動誤差弛房，由兩者構(gòu)成的加工誤差來共同控制加工步長，該算法考慮了不同刀具接觸點處的曲率差異霉晕。文中還對行距計算公式進行了推導庭再，給出了刀位計算公式。該算法適合加工曲率變化大的曲面牺堰。

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